Hallo Matthias und alle anderen die hier mitlesen,
Du möchtest also wissen wie und warum es in einem Laser zu den bekannten Transversalen elektromagnetischen Moden (TEM ) kommt? Alle Deine anderen Fragen hier beziehen sich ja auf diese eine Frage, so daà eine Antwort dankbar leicht fÀllt.
Dennoch erlaube ich es mir jetzt etwas "auszuholen" ...
Leider sind Deine Vermutungen dass hier das aktive Medium und seine Begrenzungen mit reinspielen nicht zutreffend denn die transversale Modenstruktur besteht im Wesentlichen schon in einem leeren Resonator fĂŒr den sie ( die Modenstruktur oder das Modenspektrum ) in den BĂŒchern zu Lasern und in den Vorlesungen dazu immer diskutiert wird.
Sie kommt - kurz gesagt - dadurch zustande, das eine sich im Resonator ( und auch durch das aktive Medium ) sich ausbreitende Lichtwelle sich eben nicht nur in Richtung ( also parallel dazu ) zur optischen Achse oder Resonatorachse bewegt sondern auch in der dazu senkrechten Richtung.
Die gesamte Bewegung des (Laser-) Lichtes in dem Resonator ist dann die Ăberlagerung dieser beiden Bewegungen, die auch ein seitliches "Wegdriften" der Lichtwelle zulĂ€sst, dies ist aber nur soweit möglich, dass die Resonatorspiegel an den Enden das Licht ( ĂŒberwiegend ) wieder zurĂŒckreflektieren können, anderes Licht geht fĂŒr den Laserprozess verloren. Das wird bei den StabilitĂ€tskriterien fĂŒr Resonatoren ( g-Faktoren ) ja berĂŒcksichtigt, das das Licht innerhalb des Resonators "umlaufen" soll.
Im einfachsten Fall passiert dieses "Umlaufen" in einem stabilen Resonatoraufbau ( z.B. konfokaler Resonator ) entlang der Resonatorachse, aber es gibt auch kompliziertere Lichtwege auf denen die Lichtwellen in dem Resonator - gewissermassen im "zick-zack" auf einer geschlossenen Bahn/Strahl umlaufen kann - das ist wie in einem Lichtwellenleiter und wird auch formal genauso beschrieben.
Dabei können die Wege auch auĂerhalb der Achse und auch teilweise nicht parallel dazu verlaufen. Diesen "Strahlen" ( das ist eine ErklĂ€rung im Rahmen der geometrischen Optik
) entsprechen dann höhere Moden. Sie ergeben sich als "zick-zack-Wege" der Lichtstrahlen fĂŒr verschiedene Ausbreitungsrichtungen der Lichtwellen bei sehr kleiner oder verschwindender WellenlĂ€nge im Vergleich zu den Resonatorabmessungen.
Die Lasermoden sind dann das zugehörige wellenoptische Interferenzmuster der laufenden Wellen innerhalb des Resonators,soweit eine grobe, teilweise auch falsche ErklÀrung im vorab.
Wie es gemeint ist und einigermassen zutreffend ist siehst Du hier:
TEM-Moden.jpg
Um es genauer zu erklÀren muss die Wellentheorie / Wellenmechanik der auf unterschiedlichen Wegen im Resonator umlaufenden Lichtwellen erklÀrt werden womit sich das Modell jetzt erweitert.
Die TEM Moden sind sozusagen stehende Wellen senkrecht zu den Spiegeln. Was zwingt diese Lichtwellen dann zur Umkehr so das eine stehende Welle - wie hier im Fall einer OberflÀchenwelle in einem Wasserwellenkanal durch Reflexion an der hinteren Bande - entstehen kann?
http://www.youtube.com/watch?v=cQcPM5PPvu0
Die Spiegel eines stabilen Resonators sind in der Regel mehr oder weniger gekrĂŒmmt, es handelt sich dabei ja um Hohlspiegel, deren tiefste Delle oder "Tal" in der Resonatormitte liegt.
Sieht man jetzt von der longitudinalen Ausbreitung entlang der Resonatorachse mal ab, wird das Licht durch diese gewölbte FlÀche des Spiegels immer wieder durch Reflexion zur Umkehr "gezwungen" und verleibt so innerhalb des Resonators - alles andere Licht geht verloren.
Wie genau das geschiet hĂ€ngt von der Wölbung des Spiegels ab. Das Licht verhĂ€lt sich in transversaler Richtung auf dem Spiegel also wie eine rollende Stahlkugel in einer Uhrglasschale, die immer wieder durch die Höhlung zurĂŒcklĂ€uft. Da das Licht eine Welle ist entsteht dabei Interferenz zwischen der hin- und zurĂŒcklaufenden Welle und es entstehen stehende Wellen in einer FlĂ€che senkrecht zur Resonatorachse - zusĂ€tzlich zu den stehenden Wellen in Richtung der Resonatorache (longitudianle Moden) ... die Interferenzfiguren senkrecht dazu sind die TEM-Moden.
Um sie mit dieser Ăberlegung vorhersagen zu können muss man allerdings noch wissen, das ja die SpiegeloberflĂ€che eines Hohlspiegels eine (elektrische gut leitende ) MetallflĂ€che ist auf der das elektrische Wellenfeld zusammenbricht : Die SpiegeloberflĂ€che formt dann die Wellenfront.
Ein Hohlspiegel ist allgemein eine KugeloberflĂ€che mit dem KrĂŒmmungsradius R. Da Laserstrahlung ( dessen Moden ja betrachtet werden ) durch seine starke BĂŒndelung paraxiales Licht "par excellence" ist werden die Spiegel nur in einem kleinen Bereich um die Mitte beleuchtet und dort wird das Laserlicht reflektiert. In diesem Bereich kann die KugelflĂ€che durch eine parabolische FlĂ€che ( in der Tat: eine Parabel ! ) angenĂ€hert werden.
Das zeigt auch die Darstellung einer KugelflÀche in einem y-x-Koordinatensystem, die den Koordinatenursprung schneidet. Die Taylorentwickelung um diesen Punkt ergibt in erster NÀherung eine Parabel:
KREISBOG.jpg
Die NĂ€herung fĂŒr den Radius mit dem Achsenabstand x z.B. ist dann:
Radien1.jpg
Auf dem Spiegel zeigt sich das etwa so ( paraxiale Optik in Fresnelscher NĂ€herung ) :
Spiegel.jpg
Die Ausbreitung des Laserlichtes erfolgt also mit nÀherungsweise parabolischen Wellenfronten. -> Fresnelsche NÀherung der skalaren Wellenausbreitung(!)
Die Berechnung der Moden fĂŒr viele UmlĂ€ufe auf dem Resonator berechnet sich durch sukzessive Anwendung des Fresnelschen Beugungsintegrals, in welche die Koordinaten x und y dann gem. der Fresnelschen NĂ€herung quadratisch eingehen -> Fresnelbeugung.
In einer Arbeit von Fox und Li von 1961 kannst Du diese numerische Berechnung ( damals noch fĂŒr Mikrowellen ausgefĂŒhrt ) Dir ansehen, sie fĂŒhrt fĂŒr eine grosse Zahl von ResonatorumlĂ€ufen je nach Randbedingungen auf die bekannten GauĂstrahlen mit TEM-Moden unterschiedlicher Ordnung.
Es ist ein sukzessiver Prozess von Umlauf zu Umlauf je lĂ€nger der kohĂ€rente Wellenzug ist umso besser passt es auf die monofrequente Theorie des GauĂstrahles mit einer bestimmten ( meistens TEM 00 ) transversalen Modenverteilung.
Die Arbeit von Fox und Lie findet sich unter der Referenz:
A.G.Fox/Ting Ye Li : "Resonant Modes in a Maser Interferometer" , The Bell System Technical Journal, MĂ€rz 1961 Seite 485 - 488
sowie:
G.D.Boyd / J.P. Gordon :" Confocal Multimode Resonator for Millimeter Through Wavelength Masers",The Bell System Technical Journal, MĂ€rz 1961 Seite 489 - 508
Der Artikel zeigt die numerischen Ergebnisse - er ist aber leider sehr schlecht lesbar und langwierig, da hier anscheinend "nicht-muttersprachler" sich gekĂŒnstelt in Englisch ausdrĂŒcken wollten ( empfinde ich jedenfalls so ) und die Ergebnisse dieser ( einer der ersten Computerphysikarbeiten ) sind ja bekannt - da lohnt fast schon das selber rechnen anstatt langwieriges lesen ...
und gerade ich muss diese hervorragenden Wissenschaftler hier so heruntermachen.. tsts...
Die "fertig ausgebildeten" Moden bestimmter, fester Frequenzen ( die damit auch total kohĂ€rent sein mĂŒssen(!)) können dann im Rahmen der Wellentheorie leicht mit Hilfe der Maxwellschen Gleichungen und der sich fĂŒr beschleunigt ausbreitende Wellenfelder daraus ergebenden, linearen Wellengleichung beschrieben werden.
Macht man sich klar, dass es sich ( in transversaler Richtung = senkrecht zur Resonatorachse !) um "stehende Wellen auf der Spiegelhöhlung" handelt, so fÀllt im Fall einer parabolisch angenommenen SpiegeloberflÀche sofort folgendes auf:
- Durch die totale KohĂ€renz der Lichtwellen entsteht Interferenz zwischen hin-und rĂŒcklaufender Welle -> stehende Wellen -> Abspaltung des zeitlichen Anteils (Separationsansatz möglich) -> Reduzierung der Wellengleichung auf eine Wellenamplitudengleichung (Helmholtzgleichung!) fĂŒr die TEM-Wellen.
- Die Bewegung der Lichtwelle gleicht dem eines harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik ( parabolische OberflĂ€che ! V(x)=1/2*m[phot]*omega^2*x^2!), so dass die dem harmonischen Oszillator analoge Helmholtzgleichung im zweidimensionalen Fall entstehen muss, die auch entlang einer linear unabhĂ€ngigen Bewegungsrichtung den gleichen Satz von Lösungen fĂŒr die Wellenamplitude hat.
- Welche Wellenamplitudenverteilungen auftreten hÀngt von der Spiegelform (Rechtecksymmetrie oder Kreissymmetrie) ab, da Hohlspiegel in der Praxis aber doch immer radial- oder achsensymmetrische (Kugel-!) FlÀchen haben ist der Paraxialbereich radialsymmetrisch-parabolisch.
Die Wellen(amplituden)funktionen hÀngen vom Radius und ggf. vom Winkel ab.
Bei Rechtecksymmetrie besteht der Hohlspiegel aus zwei parabolisch gebogenen, senkrecht angeordneten Streifen oder enthÀlt ggf. eine Zylinderlinse (Anamorphot o.À.) so das die horizontale x und die vertikale y-Richtung unabhÀngig voneinander die Wellenfunktionen des elektrischen Feldes strukturieren.
Rechnung dazu jetzt:
Aus den Maxwellschen Gleichungen fĂŒr beschleunigte Felder ergibt sich fĂŒr den Fall stehender Wellen mit dem Separationsansatz folgende Wellengleichung fĂŒr einen "rechtecksymmetrischen Spiegel" aus zwei gekrĂŒmmten ReflektorflĂ€chen entlang der horizontalen und vertikalen Richtung:
HELMHxy.jpg
Und fĂŒr den in der Praxis oft vorkommenden, radialsymmetrischen Spiegel:
HELMHOLT.jpg
Hierbei sind die Strecken R(x,y) oder R(r,phi) in der Regel sehr klein gegenĂŒber der ResonatorlĂ€nge. Sind beide GröĂen Null handelt es sich um einen Planspiegel. Die Vorzeichenkonvention fĂŒr gekrĂŒmmte optische OberflĂ€chen im VerhĂ€ltnis zur Ausbreitungsrichtung der Lichtwellen muss beachtet werden.
Diese Helmholzgleichungen haben fĂŒr beide FĂ€lle der transversalen Wellenausbreitungen im mathematischen Sinne ( Satz von Liouville!) geschlossene und exakt formulierte Lösungen gefunden. Sie lauten fĂŒr den Fall der Rechtecksymmetrie:
EXYLĂSUN.jpg
Was diese Lösung bedeutet wird klar wenn man sich die Funktionen und ihre Ableitungen nach diskreten Idizes n und m die ganzzahlig sein mĂŒssen ( Ableitungen nach unabhĂ€ngigen Variablen sind jeweils nur ganzzahlig definiert ! )genauer betrachtet. Es handelt sich neben einer Gauss-Funktion hier um sog. Hermitische Polynome fĂŒr die jeweils unabhĂ€ngigen Raumrichtungen x und y deren Verlauf mathematisch durch eine "hermitische Differentialgleichung" jeder unabhĂ€ngigen Raumrichtung gegeben ist und die nur fĂŒr n und m als Elemente der ganzen Zahlen ( also in Quanten ) ableitbar sind:
DGLHERMI.jpg
Die als exakte Lösungen dieser SĂ€tze von Differentialgleichungen fĂŒr jede Raumrichtung resultierenden Polynome der unabhĂ€ngigen Raumrichtungen mit dem Quantenzahlen n und m sind dann:
HERMITEP.jpg
Woraus sich ergibt : Die Moden sind quantisiert, d.h. ihre Modenordnung ist n und m fĂŒr jede unabhĂ€ngige Richtung senkrecht zur Resonatorachse durch ganze Zahlen bestimmt.
Sie beschreiben stehende Wellen fĂŒr die Bewegung der Lichtwellen entlang der beiden unabhĂ€ngigen Raumrichtungen.
Und fĂŒr den den Fall der Kreissymmetrie ist die Lösung der radialen Helmholtzgleichung:
ERPHILĂS.jpg
Auch hier zeigt sich wieder, dass die Lösung - wenn sie genauer betrachtet wird - von zwei Quantenzahlen p und l abhÀngt. l ist dabei WinkelabhÀngig und beschreibt die Interferenz der Wellen mit sich selbst zu einer stehenden Welle bei einer Kreisbewegung um die Resonatorachse und ist dann so etwas wie eine "transversale Drehimpulsquantenzahl des Laserlichtes".
Radial gibt es noch eine Hauptquantenzahl p, diese beschreibt die durch Interferenz zu stehenden Wellen des Laserlichtes senkrecht dazu, also bei der Bewegung von Lichtwellen von auĂen nach innen. Das passiert mit Hilfe der sog. Laguerreschen Polynome, die das GauĂprofil des Grundmodes ( TEM 00 ) modulieren. Diese sind quantisiert, weil sich nur sinnvolle Lösungen des Problems fĂŒr die Laguerreschen Differentialgleichungen ergeben, wenn q eine ganze Zahl ist:
DGLLAGUE.jpg
Die Lösungen dieses Laguerreschen Differentialgleichungssatzes fĂŒr ganzzahlige q sind dann:
LAGUERRE.jpg
Das spiegelt sich in den Lösungen oben ja wieder.
Hieraus ist auch schon zu erkennen: Die VerteilungsqualitĂ€t ist bei Rechteck-und Kreissymmetrie unterschiedlich. Berechnet man die BestrahlungsstĂ€rke in Watt pro mÂČ dieser Verteilungen bei der Modulation mit einer in Richtung der Resonatorachse ausgekoppelten Welle, durch die Bildung des Betragsquadrates des elektrischen Wellenfeldes in der x-y-Ebene oder r-phi-Ebene senkrecht zur Strahlrichtung so ergeben sich die
bekannten Verteilungen.
FĂŒr den Fall des TEM00-Modes ergeben sich keine sichtbare Unterschiede zwischen Rechteck- und Kreissymmetrie:
TEM00.jpg
(Links:Rechtecksymmetrie, Rechts:Kreissymmetrie)
FĂŒr den TEM00-Mode ist es egal welche Symmetrie vorherrscht weil Hermite- und Laguerre-Polynome ( deshalb habe ich das so grĂŒndlich oben ausgefĂŒhrt !) in der mathematischen Beschreibung ja wegfallen.
Dieser "transversale Grundzustand" entspricht einer Ausbreitung der Lichtwelle entlang der Resonatorachse. Seine GauĂverteilung stellt - in der Formulierung der Quantenmechanik - eine Art optische "Nullpunktsfluktuation" dar.
Anders ist das bei TEM10 : (Links: Rechtecksymmetrie, Rechts:Kreissymmetrie)
TEM10.jpg
Auf der linken Seite bedeutet die transversale Bewegung eine Bewegung der Lichtwelle in einer Raumrichtung zu der "Nullpunktsverteilung" des TEM-00. Bei der Bewegung in der Horizontalen entsteht und durch die Interferenz der Lichtwellen zu stehenden Wellen in transversaler Richtung eine andere WellenlÀnge als senkrecht dazu und ein Interferenzminimum auf der Achse entsteht. Die Quantenzahl ist n=1 in der horizontalen Richtung, aber m=0 (senkrecht dazu).
TEM 10 bedeutet in der Radialsymmetrie aber : Die (Haupt-)Quantenzahl ist p=1 und die Drehimpulsquantenzahl des Laserlichtes l=0, d.h. die Lichtwelle oszilliert in der Laufrichtung nur im Abstand von der Resonatorachse ĂŒber die SpiegelflĂ€che. Durch Interferenz entsteht ein Minimum neben dem Maximum auf der Achse, weil die WellenlĂ€nge sich dadurch radial gegenĂŒber einem TEM00-Mode verĂ€ndert hat. Eine Drehbewegung (Wirbel) macht das Licht um die Resonatorachse in diesem Fall eines TEM10 Modes nicht.
Gut fĂŒr das VerstĂ€ndnis dieser komplex erscheinenden Bewegungen ist sich immer zu merken, das zusĂ€tzliche Bewegungsrichtungen immer die WellenlĂ€nge des Lichtes (-> De-Broglie-WellenlĂ€nge!) verĂ€ndern. Beim Laserlicht und in der Optik gibtÂŽs ja nur eine einzige Geschwindigkeit! -> Maxwellsche Gleichungen
Siehe auch hier:
http://www.youtube.com/watch?v=-ZS2gmN3lDQ
Hier vielleicht noch ein Fall, eine TEM21 - Mode:(Links: Rechtecksymmetrie, Rechts:Kreissymmetrie)
TEM21.jpg
Im Fall der Rechtecksymmetrie sind dies stehende Wellen durch Interferenzen in den beiden Raumrichtungen die mit unterschiedlicher Neigung gegenĂŒber der Ebene bei Ihrer Bewegung durch den Resonator senkrecht zur Resonatorachse oszillieren. Bei der Radialsymmetrie bewegt sich jetzt das Licht nicht nur vom Zentrum nach aussen sondern auch im Kreis um das Zentrum herum und hat damit einen Drehimpuls.
Um die Moden vorherzusagen muss man sich immer verdeutlichen welche Bewegungsrichtungen die sich durch Interferenz zu stehenden Welle ĂŒberlagernden laufenden Lichtwellen beschreiben.
Das hört sich machmal leichter an als es tatsÀchlich ist.
Wohlgemerkt : Die
Interferenz bildet das Muster der Transversalmoden heraus, -> Quantenmechanik, es handelt sich dabei nicht um eine Bewegung irgendwelcher "punktförmiger" Partikel (Photonen) - das ist eine falsche Interpretation. Ich verweise auf meine AusfĂŒhrungen hier:
http://laserfreak.net/forum/viewtopic.php?f=182&t=55595 Die Photonen
sind die Wellenfelder der beobachteten Moden, anders ist die Ăberlagerung durch AbschwĂ€chung (destruktive Interferenz) nicht zu erklĂ€ren, denn Aufenthaltswahrscheinlichkeiten sind niemals negativ.
-> Negative Wahrscheinlichkeiten sind nicht definiert.(!) Die Wellenfelder sind dabei keine reinen Abstraktionen des menschlichen Geistes ...
->Interferenz
Ich hoffe ich konnte etwas erklÀren, wie solche Moden entstehen, und habe dabei ( weitschweifend ich weiss...
) die HintergrĂŒnde zu Ihrer Entstehung erklĂ€rt. Nicht nur weil diese wichtig fĂŒr das VerstĂ€ndnis sind, sondern weil auch das Auftreten dieser Transversalmoden in Lasern ein schönes Beispiel fĂŒr die konvergenz unterschiedlicher naturwissenschaftlicher Fachgebiete sind.
Die Konvergenz besteht aus meiner Sicht darin, das sÀmtliche PhÀnomene in dieser Welt durch die Bewegung bzw. das Verhalten von Wellen zu deuten sind. Diese Moden treten nicht nur in der Optik, sondern auch in der Atom- und Kernphysik sowie der Akustik aber auch der Meteorologie und auch in der Festkörperphysik und vielen anderen Gebieten der Physik auf, die zunÀchst völlig verschiedene GegenstÀnde behandeln.
Auch durch Ihre Àsthetisch bestechende Erscheinung machen sie uns aufmerksam auf diese Konvergenz und den Zusammenhang: Das nÀmlich Wellen diese Welt formen und noch immer weiter dabei sind diese zu formen...
:
Hier einige Beispiele, wo die Ăhnlichkeit der Erscheinungen förmlich ins Auge sticht - die ZusammenhĂ€nge bewahrheiten sich auf eine mathematische Weise : Es sind dieselben Differentialgleichungen die Wellenbewegungen von Platten und HohlrĂ€umen, Lasern und verschiedenen Sendern, Musikinstrumenten sowie AtomhĂŒllen und -Kernen beschreiben. Klar der Mensch hat diese erstellt und erarbeitet und deshalb ist immer wieder zu hören die Gemeinsamkeit von all diesen VorgĂ€ngen sei dass der Mensch mit seinem ( noch unerforschten ) Geist diese Dinge wahrnimmt. Das ist aber glaube ich ein sehr soplipistisch geprĂ€gter Irrtum. Denn: Die wellentypischen Erscheinungen zeigen sich in so unterschiedlichen Gebieten die bisher kaum eines Menschen wahrnehmung ĂŒberblickt ( und deshalb nicht wesentlich von Ihr konditioniert sein kann) sondern auch darin das in einer (nichtlinearen) Verflechtung zwischen Beobachter und Objekt diese entstehende Beobachtung nicht zwingend ĂŒberwiegend auf den Einfluss des Beobachter zurĂŒckzufĂŒhren sein muss.
Zudem entzieht die Interferenz ( Dunkelstellen ) ja jegliche Beobachtungsmöglichkeit in einem bestimmten Bereich des Ortsraumes.
http://www.youtube.com/watch?v=IXlvSX2rXhk
http://www.youtube.com/watch?v=o1YjIyzshh8
http://www.youtube.com/watch?v=wvJAgrUBF4w
Das Auftreten genau diese Moden ist auch die Grundlage der Musik. Wenn die Differentialgleichung der Lasermoden die Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators der Quantenmechanik im Zweidimensionalen darstellt, dessen EnergiezustĂ€nde genau Ă€quidistant liegen, dann ist dies die Grundlage jeder natĂŒrlichen und menschlich geschaffenen Tonleiter.
Der eindimensionale harmonische Oszillator beschreibt ja durch die zeitunabhÀngige Schrödingergleichung stehende Wellen sich in einem parabolischen Potential bewegenden Materiewellen. Das sieht wie folgt aus:
QMOSZILL.jpg
Nach etwas lÀnglichen Rechnungen ( hier werden sie z.B. auf englisch erklÀrt:
http://www.youtube.com/watch?v=Rf6Ks5m02fk ) ergeben sich Lösungen fĂŒr die Wellenfunktionen, die wieder ( wie im Fall der Lasermoden ) aus dem Produkt aus diskreten, Hermitischen Polynomen und einer GauĂfunktion bestehen:
QMOszpsi.jpg
Mit einigen Materiewellen-Moden die wie folgt aussehen:
WELLENFU.jpg
Deren Quadrat ( wie die BestrahlungsstrÀrken des Laserlichtes ) dann folgende Ladungs- und Massedichten ergeben:
LĂSUNGEN.jpg
Ich habe sie gemÀà dem Energieschema ĂŒbereinander gezeichnet, damit etwas zu erkennen ist.
Bei all diesen Erscheinungen die wie der harmonische Oszillator gestrickt sind fÀllt auf : Die WellenlÀngenanbstÀnde sind Àquidistant, d.h. untereinander gleich. Das erinnert nicht nur schon in Gestalt und Aufbau an Töne durch die Ganzzahligkeit sondern es sind - in einer musikalisch korrekten Definition - temperierte Quintenstapel, wobei die "Temperatur" durch die Masse der ( auf dem Laserspiegel oszillierenden Lichtwellen oder der auf dem elastischen Potential sich bewegenden Materiewellen ) bestimmt wird. -> "Wellenoptische Laserharfe"
Man(n)/Frau mag an die Parallelen die sich in einer aus Wellen bestehenden Welt einer/einem da aufdrĂ€ngen bei sich selber nachspĂŒren - wenn also gilt:"Sein=Schwingung/Welle". Es ist dann physikalisch vollkommen klar warum Musik eine so bedeutende Rolle einnimmt: "Wohl stellt jeder Tonwert eine ( mathematisch wohldefinierte ) Zahl da, aber nicht jeder mathematisch wohldefinierte Zahlwert auch einen Ton - und die ( von Zahlen "regierte" ) Natur "bevorzugt" weit jenseits der zufallsmathematischen errechenbaren Wahrscheinlichkeiten ( Interferenz und stehende Wellen entstehen ja durch "negative Wahrscheinlichkeiten"(!)
) eben solche Zahlen die gleichzeitig Tonwerte sind. Sie bevorzugt also nicht Zahlen sondern
Töne...
Ich denke dazu ist dieses hier vielleicht zum Abschluss - und zum Nachdenken - vielleicht noch sehens- und vor allem :
Hörenswert...
:
http://www.youtube.com/watch?v=LLwClbpnIaM
http://www.youtube.com/watch?v=XKRj-T4l-e8
http://www.youtube.com/watch?v=47TGXJoVhQ8
Weitere Fragen beantworte ich gerne.
Ich hoffe dieser ( wahrscheinlich wieder von den ĂŒblichen Rechtsschreibfehlern durchzogene Text hier
) hat beim VerstĂ€ndnis der Physik der transversalen Lasermoden und Ihrem Zusammenhang mit dem Rest der Physik weitergeholfen und ich freue mich nicht nur Fragen beantwortet sondern vielleicht auch wieder fĂŒr interessante BeschĂ€ftigung gesorgt zu haben.
GrĂŒĂe,
Undine
P.S.: Zur Quellenangabe gebe ich an, die erste Zeichnung am Beginn dieses Artikels von AG Lasertechnik / Institut fĂŒr Materialwissenschaft und Werkstofftechnologie der UniversitĂ€t Jena aus den Lehrmaterialien ĂŒbernommen zu haben. Dies geschieht hier zu Lehr- und Ausbildungszwecken und ist somit Urheberrechtlich zulĂ€ssig.
Die Rechnungen zu den TEM - Moden wurden mit Hilfe einer einfachen Kommandozeile in Mathematica von mir selbst erstellt.
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