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Hallo liebe Laserfreaks,
ich habe mal wieder ein Problem, es betrifft die Belichtungshomogenität von Gaussstrahlen.
Ich habe erstmal versucht das Problem 2D zu lösen.
Also Bspw.: für einen Laserstrahl der Strahlbreite von 9 mm, der ein Gauss-Profil hat. Sich also durch 1*Exp[-2*r^2/4.5^2] darstellen lässt, habe ich als Homogenität angenommen, dass die ideale Belichtung ein Rechteck wäre, dass die Höhe 1 hat, also das Maximum des Gausstrahls und die Breite 9, bzw von -4.5 bis 4.5 reicht.
Dann habe ich die Gauss-Funktion von -4.5 bis 4.5 integriert und sie mit dem Flächeninnhalt des Rechtecks ins Verhältnis gesetzt. Was einer Homogenität von knapp 70% enspricht. Soweit so gut.

Weiterhin hat mich intressiert wie sich das Strahlprofil ändert , wenn der Strahl absorbiert wird.Dafür habe ich erstmal angenommen, dass das Licht um 10% abgeschwächt wird, also durch ein Probe mit der Extinktion von 0.046 geht. D.h. das ich die Gaussfunktion des ursprünglichen Strahls mit 0.9 multipliziert habe. Damit habe ich die Funktion 0.9*Exp[-2*r^2/4.5^2]. Wenn ich jetzt einen Spiegel hinter die Probe stelle, werfe ich diesen Laserstrahl zurück. Und die Frage die mir nicht klar ist, ändert das die Homogenität mit der ich die Probe belichte oder nicht?

Was ich versucht hatte.Es spielt ja im Prinzip für diese Art der Betrachtung erstmal keine Rolle von welcher Seite man belichtet, also könnte man ja die beiden Gaussfunktionen einfach addieren. Doch wenn man nun wieder den Flächeninhalt des Rechtecks mit dem Maximalen Y-Wert der addierten Gaussfunktion mal 9 nimmt und dem Flächeninhalt der addierten Gaussfunktion ins Verhältnis setzt, bekommt man die gleiche Homogenität heraus. Wie für die einfache Durchleutung.
Wo liegt mein denkfehler oder ist das wirklich so?
Grüße Diak

Hallo liebe(r) diak,
( und alle die mitlesen und mitdiskutieren wollen )...

Deine Frage gehört ohne Zweifel zu den schwierigeren Fragen hier, ich habe Deine früheren Threads zu Gaußstrahlen auch schon gelesen...

Ich antworte zunächst einmal mit Fragen, nicht nur weil ich vielleicht etwas nicht richtig verstanden habe, sondern auch weil Fragen in einer Diskussion manchmal weiter führen als Antworten... sie zeigen ja auf was man(n)/frau noch nicht weiss oder nicht wissen kann...
Du benutzt hier einen Begriff den Du nicht näher definierst und der mir so nicht bekannt ist, die "Belichtungshomogenität",... was ist das oder was meinst Du damit? Ist das eine physikalische / technische Größe und was beschreibt sie / soll sie beschreiben? Interessant ist vielleicht auch noch welche Einheit sie hat oder ob es ein einheitenloses Verhältnis der Werte einer oder mehrerer Größen ist.

Meine Vermutung ist, daß es sich um eine Strahlungsenergie oder Strahlungsleistung ( hier : eines Gaußstrahles ) handelt ( das ist ja letztlich eine "Belichtung" ), die ggf. mit der Strahlungsenergie/Strahlungsgesamtleistung eines Lichtbündels mit gleichmäßiger Intensitätsverteilung mit festem Radius oder fester Länge und Breite ( Rechteckprofil ) und gemeinsamer Mitte mit dem Gaußstrahl entlang einer Linie oder in einer Ebene verglichen und/oder ins Verhältnis gesetzt wird... sehe ich das so richtig?
Wenn das so ist, warum ist das was Du nachfolgend im ersten Absatz beschreibst dann die "ideale Belichtung" ?

Du bearbeitest wie Du schreibst das Problem in "2D"... ich glaube das meinst Du wohl etwas anders, weil Du ja bei der weiteren Beschreibung nur noch über eine Variable integrierst... Das Koordinatensystem einer Auftragung "Intensität / Leistung (o.ä.) über dem Ort x, also einer Länge ist zwei zweidimensional, die Funktion I(x) oder P(x) hängt aber nur noch von einer Variablen / einer Dimension ab und die Rechnungen machst Du auch nur in einer Dimension... und das irritiert hier etwas. Ja, die Programme wie Mathematica u.a. sagen immer, das ist ein "2D-Plot", das ist wohl richtig, die Rechnung dazu ist aber ganz klar eindimensional, da nur eine Integrationsvariable, also x, in der zugrundeliegenden Rechnung vorkommt und sonst auch die gängigen Verfahren, z.B. die Entwicklung einer Funktion in der Form einer für die zwei unabhängigen Variablen (x und y) angepassten Variante ( das ist dann eine Lösung des Problems in 2D (!) ) erweitert werden muss.

Soweit dazu vielleicht erstmal.

Des weiteren habe ich mich bemüht zu rechnen - wie sinnvoll das ist hängt von Deiner Antwort auf meine zuletzt gestellten Fragen ab.
Ich bin davon ausgegangen, dass Du die Strahlungsleistung / Strahlungsenergie eines Gaußstrahles zwischen zwei Integrationsgrenzen auf der x-Achse vergleichen möchtest mit der Strahlungsleistung/Strahlungsenergie eines (hypothetischen) Strahls auf dem gleichen Bereich oder gleichen Intervall mit einer vollkommen gleichmäßig verteilten Intensität. Dabei entspricht die gleichmäßige Intensität der maximalen Intensität dieses Gaußstrahles. Die Strahlungsenergien oder -leistungen entsprechen dabei in dieser Darstellung einer Fläche unter der Kurve in den jeweiligen Verteilungsdiagrammen. Das Verhältnis dieser beiden als Flächen dargestellten und ( durch ein Quadraturproblem ) berechneten Strahlungsleistungen / Strahlungsenergien ist dann die "Homogenität" in Form einer dimensionslosen Größe?
Hierzu vielleicht folgende Zeichnung:
Sind dies also die berechneten Flächen / Flächenverhältnisse und ist die Homogenität durch diese Flächenverhältnisse (Gaußfläche/Rechteckfläche) berechnet worden ... ? Wenn ja, dann ist da irgendwo ein kleiner Rechenfehler, denn das Verhältnis der Gaußfläche zur Rechteckfläche ergibt bei den von Dir angegebenen Daten ziemlich genau 0,598... also aufgerundet etwa 60% anstatt der von Dir vorhergesagten 70%...

Alles weitere schreibe ich dann, wenn Du die Größen die Du hier rechnerisch bestimmst erklärt hast und den Versuchsaufbau vielleicht genauer beschrieben hast den Du betrachtest und ggf. auch worauf es Dir dabei ankommt. Dann ist die (quantitative) Diskussion vielleicht ergiebiger, sonst argumentiere ich in den (jetzt leider nicht mehr blauen) Himmel...

Grüße,

Undine

Hallo Undine,
vielen Dank für deine Mühe, und ja du hast recht es sind 60%, da konnte ich wohl nicht abschreiben

Def.:
Mit Belichtungshomogenität meinen wir beide wohl das selbe:
Ein Lichtstrahl trifft auf auf eine Küvette und nun ist die Frage, wie gleichmäßig das Volumen belichtet wird, durch den Lichtstrahl wenn er Gaußprofil hat.
Also genau wie du es gezeichnet hast Ideal wäre ein Rechteck, "normale " Laser kommen aber nun mit dem Gaußprofil auf die Welt.
Mit 2 Dimensional Fall meine ich, eine Lösung in einem Koordinatensystem mit x und y Achse, also rein euklidisch.
Dann ist x die Variable, also in deinem Sprachgebrauch 1 Dimensional wegen der einen Variable, hast du ja richtig vermutet. Und es soll die Intensitätsabhängigkeit vom Ort, mit der Gaussfunktion wiedergegeben werden.
Somit müsste die Funktion, dann heißen I(x)=I0 * Exp[-2*x^2/w0^2].

Die Frage die ich mir stellte, wie sieht das Gauss-Profil aus nachdem es adsorbiert ist.
Also Laser -> Küvette -> Gaussprofil. So müsste das Aussehen: für
5%; 10%; 15% und 20% Lichtabsorbtion. Denn jetzt hat jeder Punkt der Gaussfunktion, nach der Küvette, zu der Gaussfunktion vor der Küvette, die selbe Extinktion. Ich hoffe das stimmt.

Was will ich damit?

Wenn ich nun hinter die Küvette einen Spiegel oder Reflektor stelle, wird das Licht nochmal durch die Küvette geworfen.
Damit bekomme ich ein höheres Signal, je nach Absorption bis knapp 2 mal soviel. Also "verstärke" ich das Signal.
Nun ist ein zusätzlicher Effekt zu beobachten. Mit Einsatz des Spiegels oder Reflektors, liegt das maximale Aktinometersignal höher als ohne. Das habe ich zumindest gemessen. Da es auch mit anderen Aktinometern funktioniert, ist das wohl auch so. Es sollte normalerweise das gleiche Maximum zu erreichen sein, ob nun mit Reflektor oder ohne. Denn mehr als "alles" kann nicht angeregt werden.
Nun ist die Vermutung, dass sich die Homogenität verbessert, wenn zwei Gausstrahlen durch die Küvette gehen.
Das würde ich gerne relativ zur Ausgangsfunktion quantifizieren.
Am Ende würde mich interessieren, ob es ein Optimum zwischen Signalverstärkung und Homogenität gibt und ob man nicht eventuell durch die Signalerhöhung, durch Homogenitätsverbesserung den Verstärkungsfaktor 2 doch erreichen kann, wenn doch etwas absorbierendes in der Küvette ist.

Wo ich derzeit hänge.

Ich verstehe nicht ganz wie man eine Homogenität für zwei addierte Gaussfunktionen richtig formuliert, denn wenn ich einfach wieder ein Rechteck nehme, dass im Maximalwert der Gaussfunktionen liegt, bekomme ich die Homogenität 60%?

Wenn ich wieder etwas schlecht erklärt habe, fragt einfach .

Grüße
der Diak

Hallo lieber diak,

ich habe mir Deine Antwort zum Thema Homogenität gründlich durchgelesen und mir meine Gedanken dazu gemacht. Zuerst einmal vielen Dank für die Erklärung.
Also wenn Du die Homogenität so definierst wie ich das wiedergegeben habe dann muss das von Dir erhaltene Ergebnis so sein wie es ist - zwangsläufig. Wenn du die Intensitätsprofile von einfallendem Gaußstrahl und reflektiertem Gaußstrahl einfach addierst und die gesamte Fläche unter der Kurve im Koordinatensystem zu H[0]*b nur des einfallenden Strahles einsetzt - dann ist da die Energie des reflektierten Lichtes hinzugekommen.
Die von Dir ausgeführte Addition vernachlässigt aber verschiedene, bei realen Laserstrahlen aber auftretende Effekte :
- Du addierst die Profile inkohärent, d.h. Phaseninformationen der Gaußstrahlen und der Substanz in der Küvette sowie des Küvettenglases spielen keine Rolle
- Du vernachlässigst die Änderung von w(z) also dem Strahlradius bei der Ausbreitung von der Vorderseite der Küvette zu der Stelle benach das reflektierte Licht die Vorderseite wieder erreicht: w(z[1]) ungleich w(z[2])...! Und das gilt schon bei einer gewöhnlichen "Rückspiegelung" ohne Absorbtion!
- Der Gaußstrahl ändert seine Maximalintensität mit w(z)... also ist auch schon ohne Absorbtion und ohne Küvette I(0,0,z[1]) ungleich I(0,0,z[2])! Das hat der Gaußstrahl bei der Strahlausbreitung senkrecht zur Strahlachse mit der Diffusion einer Substanz im freien Raum gemeinsam, die Probleme sind ja auch in der mathematischen Beschreibung vollkommen identisch bis auf die Interpretation: Die Strahlungsleistung / Strahlungsenergie in der gesamten Ebene senkrecht zur Strahlrichtung ist ja konstant, sie verteilt sich nur räumlich anders. Ebenso bei der Diffusion : Ein Tropfen Tinte in Wasser oder Brom in der Luft verteilt sich mit zunehmender Zeit immer gleichmäßiger auf größere Bereiche des Ortsraumes, die Stoffmenge an Tinte oder Brom bleibt dabei aber konstant. ( Massenerhaltung / beim Laser : Energieerhaltung )

Die Absorbtion der Substanz oder eines Filters bewirkt in Deiner Rechnung also lediglich eine Abschwächung. Frage Dich, ob die Voraussetzungen die ich oben geschildert habe in Deinem Versuch tatsächlich gegeben sind.
Wenn das so ist, oder wir für die Theorie davon ausgehen, rechne ich Dir jetzt vor welches Ergebnis ich mir vorstellen könnte.
Also:
Ich denke das Problem löst sich dadurch, daß zunächst die Homogenität des jeweiligen gesamten Strahlprofils zu bestimmen ist. Das gesamte Strahlprofil ist zwischen -b/2 und b/2 als Integrationsgrenzen zu integrieren. Betrachtetst Du nur einfallendes Licht Berechnest Du die Homogenität nur für das einfallende Licht, betrachtest Du nur reflektiertes und absorbiertes Licht dann berechnest Du nur die Homogenität dieses Strahlprofils des reflektierten Lichtes, anders kann es nicht sein. Beachte dabei die Wirkung von w(z) = nicht konstant, also nur an einer Stelle z[1]=w(z[1])=4,5!
Beispiel dafür : Das reflektierte Licht wird durch die Küvette so geschwächt wie das Licht das durch eine doppelt so tiefe Küvette in einer Richtung gelaufen wäre... also um einen konstanten Faktor, der ist 4/5 der Intensität vorher, rein durch Absorbtion. Hinzu kommt aber noch die Dissipation der Lichtenergie / Lichtleistung aus den Grenzen -b/2 und b/2 durch Strahlausbreitung!
Das Integral ist dann in diesem Fall: Hierbei ist dann aber s[0] gleich I(0,0,z[2]) mit w(z[2])… das ist ungleich w(z[1]) und I(0,0,z[1])… I(0,0,z[1])> I(0,0,z[2]) und w(z[2])>w(z[1]).
Wenn Du jetzt aber die Summe beider Intensitäten bildest, dann ist das die Intensitätsverteilung dessen Homogenität berechnet werden soll.
Die Summe der beiden Gaußstrahlen des einfallenden und reflektierten Lichtes ist bei einer inkohärenten Addition (Summe der Intensitäten beider Strahlen ) an der Vorderseite der Küvette gegeben zu: Die Homogenität definiert sich dann aus folgender Gleichung, bei Deiner Definition wird dabei das Gleichheitszeichen durch einen Bruchstrich ersetzt… und dieser Term beschreibt dann was du bestimmen willst: Dabei ist H[0] aber durch den Maximalwert der Summe beider Gaußglocken gegeben… und da liegt dann schon ein größerer Teil der Fläche außerhalb der Breite b auf der x-Achse… das hat der Gaußstrahl mit der Lösung der freien Diffusionsgleichung gemeinsam (es sind ja auch mathematisch verwandte Probleme, Ihre Deutung ist nur verschieden) die Energie / Leistung bleibt in einem sich ausbreitenden Gaußstrahl ja gleich („Fläche unter der Intensitätskurve“) , ähnlich der Menge/Masse eines Tropfens Tinte, welcher sich durch Diffusion im Wasser verteilt -> die bleibt immer gleich groß, wenngleich sie sich immer weiter Verteilt und damit in der Konzentration verdünnt – das wird durch exakt dieselbe Gleichung beschrieben wie der Gaußstrahl beim Laser. ( Ist eine Analogie zu diesem Problem ), deshalb gilt auch s[0](w(z))… -> Theorie des Gaußstrahles.
Die Bestimmungsgleichung für die Homogenität ist dann wieder wie folgt gegeben, wobei es nach Deiner Definition wieder der Term ist, der entsteht wenn das Gleichheitszeichen durch einen Bruchstrich ersetzt wird: Ausrechnen des Integrals zwischen den Grenzen –b/2 und b/2 ergibt dann: (Auch hier gilt für Dich wieder : „/“ statt „=“!)
H[0] ist hier wieder durch den Wert in der Mitte des gesamten Intensität bestimmt. Jetzt erhältst Du für b=9 Deine typischen Werte der Homogenität. Tau ist dabei die Transmission der Intensität des Filters / der Küvette…
Das Problem ist nur die Auswertung dieses mathematischen Ausdruckes… nach der Literatur ist das nicht möglich, weil das Integral mit keiner der bekannten Vereinfachungsmethoden lösbar ist (Substitution / partielle Integration usw.) , weil der Zusammenhang zwischen dx und der Integrationsvariablen der Gaußglocke exp(-x*x) – also x^2 – nicht linear ist und auf kein lineares Verhältnis zurückgeführt werden kann. Dieses Grundintegral wird durch die „erf(x)-Funktion“ gelöst, diese ist allerdings eine analytische Funktion, die in jedem Fall auf beliebigen Intervallen durch eine Taylorentwickelung angebbar ist. Hier bei der Integration der Gaußfunktion gibt´s die Formel für alle Fälle der Gaußfunktion auch wenn das von den Kollegen immer wieder bestritten wird (!) In deinem Problem ist dies dann wie folgt auswertbar – je nach Genauigkeitsanspruch der Lösung: Womit sich dann die Lösung ergibt ( ersetze wieder „=“ durch „/“ und werte den Term entsprechend aus: Ich denke das Problem liegt hier an dem falschen Verständnis des Gaußstrahles : Bei der Strahlausbreitung im freien Raum ist bereits w(z) keine Konstante Größe mehr, wenn sich nicht auf eine feste Stelle z beschränkt wird und das ist für den reflektierten Strahl ein anderer Wert als für den einfallenden Strahl.
Kleiner Hinweis am Rande : Adsorbtion und Absorbtion sind normalerweise nicht dieselben Vorgänge... in der Optik handelt es sich ausschließlich um Absorbtionen von Licht... das andere wird eher für Prozesse im Rahmen der Kapillarität/Elektrokapillaritat (z.B. bei der Beschreibung der Wirkung von Aktivkohlefiltern ) verwendet... es sei denn Du hast einen bestimmten Grund dies hier in Bezug auf Licht gleichzusetzen...?

Kleines „Off-Topic“ (so „Off-Topic“ ist es gar nicht ) dazu…:
Man(n)/Frau könnte es auch anders formulieren: Raum und Zeit sind das was eine Uhr ( hier in Form eines sich ausbreitenden Laserstrahles ) misst … und sich durch die Breite von w(z) dokumentiert… der sich durch eine bestimmte, fest aufgebaute Anordnung (Küvette mit Spiegel an der Rückseite ) ausbreitende Laserstrahl bestimmt wie wir denken müssen um seine Ausbreitung zu beschreiben … und nicht wir bestimmen mit unserem Denken wie sich der Laserstrahl durch eine von uns vorgegebene Anordnung ausbreitet… Wiederkehr des Realismus und absoluten Wahrheit … aus einer Welt der weitgehend relativierten Werte… ein immer wiederkehrendes Problem in der Physik… wie vielleicht auch hier deutlich wird... Licht hat im einem bestimmten, homogenen Medium nur eine einzige Geschwindigkeit...das verursacht ja auch w(z) beim Gaußstrahl...:
http://www.youtube.com/watch?v=-ZS2gmN3lDQ


Grüße,

Undine